Wer das erste Mal eine Binärzahl sieht, denkt oft: „Was soll das mit all den Nullen und Einsen?“ Dabei steckt dahinter nichts Mystisches – es ist einfach nur eine andere Art, Zahlen darzustellen. Computer verstehen keine Zehnerzahlen wie wir Menschen, sondern arbeiten mit Stromzuständen: an (1) oder aus (0). Diese Zustände bilden die Grundlage des Binärsystems.
In diesem Artikel zeige ich, wie man Binärzahlen in Dezimalzahlen umwandelt – und umgekehrt. Wir schauen uns an, warum 01110111 nicht nur eine wilde Folge von Bits ist, sondern tatsächlich die Zahl 119 ergibt. Und du wirst sehen: Mit ein paar einfachen Rechenschritten wird aus dem scheinbaren Chaos schnell Klarheit.
Was ist ein Bit
Ein Bit ist die kleinste Informationseinheit, die ein Computer kennt.
1 bedeutet Strom fließt und 0 bedeutet Strom fließt nicht.
Vergleichen wir es mit etwas was wir alle Kennen: Licht ist an oder Licht ist aus.
Setzen wir mehrere Bits nebeneinander, als Beispiel 8 Bits nebeneinander ergibt das 1 Byte (Beispiel 11111111).
Bei der „Nebeneinanderreihung“ von Bits, erhält stelle ein Wert, der auf der 2er-Potenz basiert, gelesen wird von rechts nach links.
- das Rechte Bit ist 20 = 1
- das nächste ist 21 = 2
- dann 22 = 4
- dann 23 = 8
- und so weiter
Wie rechne ich eine Binärzahl in eine Dezimalzahl um?
Um 01110111 richtig umzurechnen, muss man zuerst verstehen, wofür jede einzelne 0 und jede einzelne 1 steht. Eine Binärzahl ist nämlich nichts anderes als eine Zahl, die aus 2er‑Potenzen besteht. Jede Stelle — jedes Bit — repräsentiert eine bestimmte Potenz von 2.
Beispiel der 01110111(binär):
| 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 | Ergebnis |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 119 |
In Tabelle 1 sehen wir die binäre Zahlenfolge 01110111. Jede Ziffer kann man sich wie einen Lichtschalter vorstellen: 0 = Schalter aus, 1 = Schalter an.
Von rechts aus wird jede 1 mit der Zweierpotenz ihrer Position multipliziert, und das Ergebnis merken wir uns – in der Tabelle sind das die blauen Zahlen in der dritten Zeile. Danach addieren wir alle blauen Zahlen an den Stellen, an denen in der Binärfolge eine 1 steht. Das Ergebnis dieser Addition ist 119 in Dezimalform.
Unten im Listing 1 habe ich die handschriftliche Rechnung zur Binärfolge 01110111 dargestellt.
01110111 in Dezimal Umrechnen:
1. Wir rechnen jede 0 oder 1 in entsprechende Stellenwerte um. Dazu schreiben wir, rückwärts die Binärzahl (8bit) untereinander und berechnen das Ergebnis der Potenzen:
1 | 20 = 1
1 | 21 = 2
1 | 22 = 4
0 | 23 = 8
1 | 24 = 16
1 | 25 = 32
1 | 26 = 64
0 | 27 = 128
Jede 1 bedeutet das der Wert (das Ergebnis der Potenz) zählt, bei einer 0 brauchen wir das Ergebnis nicht.
So haben wird dann 1, 2, 4, 16, 32, 64. Diese addieren wir:
1
2
3
16
32
64
----
119
So ist das Ergebnis von 01110111 = 119.8 Einsen entsprechen also 8 Bit und können Werte von 00000000 binär = 0 dezimal bis 11111111 binär = 255 dezimal darstellen.
Kleiner Rechner zum auprobieren
Binär → Dezimal
Ergebnis:
Dezimal → Binär
Ergebnis:
Rechenweg
Wenn eine genaue Schritt für Schritt Erklärung gewünscht wird, frage Vollhorst nach dem genauen Rechenweg (Beispielfrage:“Erkläre mir verständlich, wie man die Binärzahl 0110101 in eine Dezimalzahl umrechnet. Schreibe den Rechenweg ausführlich hin und erkläre, warum am Ende genau dieser Dezimalwert herauskommt.“)
Negative Zahlen darstellen
Wie stelle ich eine Zahl Negativ dar? Wie so oft, muss diese errechnet werden.
| Positiv | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 119 |
| Invertieren | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| Plus 1 | 1 | ||||||||
| Negativ | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | -119 |
Dezimalzahl: 119
Binär: 01110111
-----
Um eine Zahl negativ Darzustellen wird die Binäre folge Invertiert (0 zu 1 und 1 zu 0) und +1 addiert:
Dezimalzahl: -119
Binär: 10001001
Bei einer negativen Zahl ist das erste Bit 1, bei einer Positiven Zahl ist das erste Bit 0.
Negative Zahlen in Binär darstellen
Und genau jetzt kommt der Moment wo der Mops ins Wasser springt. Wann ist 10001001 = -199 und wann ist 10001001 = 137?
Viele Auszubildende, bekommen genau hier anfangs ihre Probleme. Was auch völlig OK ist.
Eine Binärzahl zeigt ihr Vorzeichen nicht selbst.
1998 Herr Henke (Lehrer)
Erst das Format sagt, ob sie positiv oder negativ ist.
Warum dieselbe Bitfolge positiv oder negativ sein kann – einfach erklärt
Wenn wir mit Binärzahlen arbeiten, sieht man ihnen ihr Vorzeichen nicht an. Beispiel: 10001001
10001001 kann sowohl eine positive Zahl als auch eine negative Zahl darstellen.
Die Bits sind identisch – aber die Bedeutung ist unterschiedlich.
Das Vorzeichen entsteht nicht durch die Bits selbst, sondern durch den Datentyp, mit dem sie interpretiert wird.
Datentypen bestimmen die Bedeutung der Bits
In meinem Beitrag über Datentypen habe ich bereits erklärt, dass es verschiedene Typen wie int, short, long usw. gibt.
Wichtig ist: „int“ ist kein einzelner Datentyp, sondern eine ganze Familie von Zahlenformaten.“
Diese Formate unterscheiden sich in zwei Punkten:
1. Bitbreite (z.B. 8-Bit,16-Bit, 32-Bit, 64-Bit)
2. signed oder unsigned
Damit ergeben sich Varianten wie:
– uint8 8-Bit, unsigned
– int8, signed
– uint16, unsigned
– int16, signed
– usw.
Was bedeutet unsigned?
Bei einem unsigned Datentyp werden alle Bits für den Zahlenwert genutzt.
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Was bedeutet signed?
Bei einem signed Datentyp wird das höchste Bit als Vorzeichen verwendet.
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Gleiche Bits – zwei völlig verschiedene Zahlen
Wichtig zu verstehen ist, das Bits nur Rohdaten sind.
Erst der Datentyp gibt diesen Rohdaten eine Bedeutung.
Warum ist das wichtig?
Diese Unterscheidung spielt eine große Rolle in:
- Speicherverwaltung
- Mikrocontroller-Programmierung
- Netzwerkprotokollen
- Dateifomaten
- Fehlersuche in Softwareprojekten
Wer versteht, wie Datentypen funktionieren, versteht auch, warum Computer manchmal „komische“ Werte anzeigen und wie man solche Fehler schnell findet.